Działania na ułamkach wyrażonych rozwinięciem dziesiętnym jest bardzo podobne do działań na liczbach całkowitych. Trzeba tylko pamiętać o przecinku.
Dodając dwa ułamki do siebie dodajemy je "od prawej strony", tzn.
2,15+3,45=(5+5=10, wiec "przerzucamy" +1 o jedna w lewo, 1+4+1=6, stawiamy przecinek, 2+3=5 i zapisujemy) 5,60. Jeżeli jedna z liczb ma więcej cyfr po przecinku, uzupełniamy te miejsca zerami u drugiej np.
0,15426+0,71=0,15426+0,71000 (i znów dodajemy 6+0=6, 2+0=2, 4+0=4, 1+5=6, 7+1=8, 0+0=0) = 0,86426.
Odejmujemy na tej samej zasadzie.
Przy mnożeniu - mnożymy obie liczby przez siebie (nie uwzględniając przecinka), następnie zliczamy ilość miejsc po przecinku u jednej liczby, zliczamy ilość miejsc po przecinku u drugiej liczby, sumujemy i stawiamy przecinek po tylu cyfrach licząc od prawej.
Np. 2,58*3,12=8,0496 (pierwsza liczba ma 2 miejsca po przecinku, druga także 2, więc nasza szukana liczba będzie miała 4 miejsca po przecinku).
5,6*2,478=13,8768 (56*2478=138768, 4 cyfry po przecinku licząc od prawej)
poniedziałek, 6 czerwca 2011
Przybliżenia dziesiętne ułamków zwykłych
Jak już wiemy, ułamek zwykły to nic innego jak dzielenie dwóch liczb. Przy zamianie ułamka zwykłego na dziesiętny nie zawsze jesteśmy w stanie znaleźć takie rozwinięcie ułamka, aby w mianowniku znalazło się 10, 100, itd. W takim przypadku aby zamienić ułamek po prostu dzielimy licznik przez mianownik. Może się jednak okazać, iż nasz wynik z dzielenia jest bardzo dziwny - nigdy się nie kończy. Przykładem takim jest ułamek
Co wtedy zrobić? Przecież nie możemy w nieskończoność dopisywać trójek. Zabraknie nam zeszytu. W takich przypadkach zaokrąglamy ułamek dziesiętny do żądanego miejsca po przecinku (zazwyczaj podaje się dwa miejsca po przecinku).
Istnieje reguła określająca sposób zaokrąglania ułamków. Otóż, gdy cyfra następująca po żądanym rządzie do którego mamy zaokrąglić zawiera się w przedziale liczb {0,1,2,3,4} zaokrąglamy w dół. Gdy cyfra zawiera się w przedziale {5, 6, 7, 8, 9} zaokrąglamy w górę. Mówiąc zaokrąglamy w dół mamy na myśli nie zmienianie ostatniej cyfry do której mamy zaokrąglić (np. zaokrąglając nasz ułamek do trzeciej liczby po przecinku nasz ułamek będzie wyglądał tak: 0,882 - następną liczbą jest 3, dlatego zaokrąglamy w dół). Zaokrąglając w górę, dodajemy 1 do ostatniej zaokrąglanej liczby (np. gdybyśmy chcieli zaokrąglić nasz ułamek do pierwszej liczby po przecinku otrzymalibyśmy ułamek: 0,9 - ponieważ po pierwszej liczbie do której chcemy zaokrąglić jest 8)
Przykłady:
Podaj przybliżenia dziesiętne ułamków zwykłych z:
a) dokładnością do 0,1 b) z dokładnością do 0,001
Odpowiedź:
a) 0,4=0,4 b) 0,4=0,4 (bo nie ma więcej liczb po przecinku)
0,5714286...=0,6 0,5714286=0,571
Gdy w naszym ułamku dziesiętnym powtarza się sekwencja tych samych liczb np. 3,87878787 możemy zapisać taki ułamek w ten sposób: 3,(87) - trzy przecinek osiemdziesiąt siedem w okresie. Nawias ten oznacza, że cyfry w nim zawarte będą się powtarzać w nieskończoność.
Przykład:
0,33333... = 0,(3),
0,54841414141...=0,548(41)
0,666666...=0,(6)
Istnieje reguła określająca sposób zaokrąglania ułamków. Otóż, gdy cyfra następująca po żądanym rządzie do którego mamy zaokrąglić zawiera się w przedziale liczb {0,1,2,3,4} zaokrąglamy w dół. Gdy cyfra zawiera się w przedziale {5, 6, 7, 8, 9} zaokrąglamy w górę. Mówiąc zaokrąglamy w dół mamy na myśli nie zmienianie ostatniej cyfry do której mamy zaokrąglić (np. zaokrąglając nasz ułamek do trzeciej liczby po przecinku nasz ułamek będzie wyglądał tak: 0,882 - następną liczbą jest 3, dlatego zaokrąglamy w dół). Zaokrąglając w górę, dodajemy 1 do ostatniej zaokrąglanej liczby (np. gdybyśmy chcieli zaokrąglić nasz ułamek do pierwszej liczby po przecinku otrzymalibyśmy ułamek: 0,9 - ponieważ po pierwszej liczbie do której chcemy zaokrąglić jest 8)
Przykłady:
Podaj przybliżenia dziesiętne ułamków zwykłych z:
a) dokładnością do 0,1 b) z dokładnością do 0,001
a) 0,4=0,4 b) 0,4=0,4 (bo nie ma więcej liczb po przecinku)
2,666666667...=2,7 2,666666667...=2,667
0,384615...=0,4 0,384616=0,3850,5714286...=0,6 0,5714286=0,571
Gdy w naszym ułamku dziesiętnym powtarza się sekwencja tych samych liczb np. 3,87878787 możemy zapisać taki ułamek w ten sposób: 3,(87) - trzy przecinek osiemdziesiąt siedem w okresie. Nawias ten oznacza, że cyfry w nim zawarte będą się powtarzać w nieskończoność.
Przykład:
0,33333... = 0,(3),
0,54841414141...=0,548(41)
0,666666...=0,(6)
Działania na ułamkach
Jak już wiesz, wyróżniamy ułamki zwykłe i dziesiętne. Ułamki zwykłe to te z kreską, ułamki dziesiętne to te z przecinkiem :) Ułamek dziesiętny to nic innego jak ułamek zwykły o podstawie 10. Co to znaczy "o podstawie 10"? Jak już zapewne wiesz, ułamek zwykły składa się z licznika, mianownika i kreski ułamkowej. Licznik jest nad, mianownik natomiast pod kreską ułamkowa. Ułamek dziesiętny to taki, którego mianownik jest równy 10, 100, 1000, ... .
Możemy także zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, jeśli doprowadzimy jego mianownik do 10, 100, 1000, ...
Aby pomnożyć ułamki mnożymy licznik z licznikiem, a mianownik z mianownikiem. Tzn.
Przy dzieleniu natomiast występuje "sztuczka", tzn. zamiast dzielenia mnożymy przez odwrotność drugiego ułamka (zamieniamy licznik z mianownikiem):
Ułamki zwykłe możemy skracać. Jeżeli liczba w liczniku i mianowniku jest podzielna przez tą samą liczbę (np. 6 jest podzielne przez 2 i przez 3, 9 jest podzielne przez 3 i przez 3, czyli zarówno liczba 6 jak i liczba 9 są podzielne przez 3), to możemy go przez tą liczbę podzielić. Co za tym idzie, możemy także bezkarnie mnożyć licznik i mianownik ułamka przez tą samą liczbę doprowadzając w ten sposób do zmiany mianownika (jak przy zamianie z ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny). Dzielenie licznika i mianownika w ułamku przez tą samą liczbę nazywamy skracaniem ułamka.
Mnożenie ułamka (licznika i mianownika przez tą samą liczbę) pomaga nam w doprowadzeniu dwóch ułamków do tego samego mianownika. Po co nam wspólny mianownik? Otóż jest on nam potrzeby przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków. Np.
Gdy licznik jest większy od mianownika, ułamek nazywamy ułamkiem niewłaściwym. Aby zamienić ułamek niewłaściwy na ułamek właściwy sprawdzamy ile razy licznik jest większy od mianownika i wyłączamy tą liczbę przed ułamek, pozostawiając resztę z dzielenia. Tzn.
Możemy także zamienić ułamek właściwy na niewłaściwy, aby np. odjąć od siebie dwa ułamki.
Zapamiętaj!
Aby dokonać jakichkolwiek operacji na ułamkach (dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić, itd.) należy je przedstawić w formie niewłaściwej, tzn. nie mogą być wyłączone całości.
Ułamki zwykłe możemy skracać. Jeżeli liczba w liczniku i mianowniku jest podzielna przez tą samą liczbę (np. 6 jest podzielne przez 2 i przez 3, 9 jest podzielne przez 3 i przez 3, czyli zarówno liczba 6 jak i liczba 9 są podzielne przez 3), to możemy go przez tą liczbę podzielić. Co za tym idzie, możemy także bezkarnie mnożyć licznik i mianownik ułamka przez tą samą liczbę doprowadzając w ten sposób do zmiany mianownika (jak przy zamianie z ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny). Dzielenie licznika i mianownika w ułamku przez tą samą liczbę nazywamy skracaniem ułamka.
Mnożenie ułamka (licznika i mianownika przez tą samą liczbę) pomaga nam w doprowadzeniu dwóch ułamków do tego samego mianownika. Po co nam wspólny mianownik? Otóż jest on nam potrzeby przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków. Np.
Aby dokonać jakichkolwiek operacji na ułamkach (dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić, itd.) należy je przedstawić w formie niewłaściwej, tzn. nie mogą być wyłączone całości.
Działania
A więc zaczynamy od czegoś najprostszego - działania na liczbach całkowitych.
Zacznijmy od tego, czym jest liczba całkowita. Otóż, liczbami całkowitymi są liczby naturalne i liczby przeciwne do nich oraz zero. Trochę skomplikowane? Zastanówmy się zatem, czym są liczby naturalne?
Do zbioru liczb naturalnych zaliczamy liczby N={1, 2, 3, 4, ... } - tak zapisujemy zbiór liczb naturalnych. Te "..." oznaczają, iż jest ich nieskończenie wiele.
Wiemy już, czym są liczby naturalne. Czym są jednak liczby przeciwne do nich? Liczbą przeciwną do 5 jest -5, liczbą przeciwną do -3 jest 3. Są to więc te same liczby o przeciwnych znakach.
Teraz możemy wrócić do liczb całkowitych. Wiemy iż liczby naturalne to N={1, 2, 3, ...}, liczbami przeciwnymi do nich będą N_={..., -3, -2, -1}.
Oznaczając zbiór liczb całkowitych przez C możemy zapisać: C={ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Przejdźmy teraz do działań. Do działań arytmetycznych zaliczamy: dodawanie (+), odejmowanie (-), mnożenie (*) i dzielenie (:).
Dodawanie liczb jest najprostsze. Elementy które chcemy do siebie dodać, nazywamy składnikami, a wynik dodawania nazywany jest sumą. To znaczy:
5+3=8 - składnikami są 5 i 3, sumą jest liczba 8.
Odejmowanie oznaczamy znakiem "-", elementem odejmowania nazywamy odjemną i odjemnikiem, natomiast wynik nazywany jest różnicą. To znaczy:
5-3=2 - Odjemną jest 5, odjemnikiem jest liczba 3, natomiast różnicą jest liczba 2.
Przy mnożeniu (*) elementami, które mnożymy nazywamy czynnikami, a wynik - iloczyn. Tzn.:
5*3=15 - czynnikami są liczby 5 oraz 3. Iloczynem jest liczba 15.
Dzielenie oznaczamy ":", elementem który dzielimy jest dzielna, elementem którym dzielimy jest dzielnik. Natomiast wynik nazywa się ilorazem.
15:5=3 - Dzielną jest liczba 15, dzielnikiem - liczba 5. Ilorazem jest liczba 3.
Przykłady do rozwiązania. Oblicz sumę, różnicę, iloczyn i iloraz:
1) 15+20=
2) 45-15=
3) 10*4=
4)20:4=
Jak widać są to proste działania. Musimy jednak pamiętać o kolejności działań. Pierwsze są nawiasy. Jeżeli o nich zapomnimy, mogą one sporo popsuć:
5+3*2=5+6=11. Jednak gdy wstawimy nawiasy:
(5+3)*2=8*2=16 - wynik jest zupełnie inny.
Przy samym dodawaniu lub odejmowaniu (tzn. gdy nie ma innych działań), nawiasy nic nie zmienią:
5+7-3=(5+7)-3=5+(7-3)=9 - wynik jest taki sam czy są nawiasy, czy ich nie ma. Jednak gdy mamy do czynienia z działaniami o wyższej ważności, jakim jest mnożenie czy dzielenie, najpierw wykonujemy działania w nawiasach!
Zapamiętaj!
Najpierw wykonujemy działanie w nawiasach, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.
Przykłady
(7+3)-2 =
(7+3)*2 =
7+3*2=
10:5+2=
20:(2+3)=
20:5+2*3=
Warto znać metodę dodawania pod kreską:
DODAWANIE POD KRESKĄ
Weźmy dwie liczby: 265 i 146 które chcemy do siebie dodać. Zapisujemy je w następujący sposób:
2 6 5
+1 4 6 <- zapisujemy je jedna pod druga i odkreślamy poziomą linią.
_______ Teraz przechodzimy do dodawania - dodajemy ostatnie cyfry.
5+6 = 11, zapisujemy więc jedności pod liczbami które dodawaliśmy (pod 5 i 6), a jedynkę z dzisiątek (11=10+1) zapisujemy nad następnym rządkiem (nad liczbami 6 i 4)
Teraz więc mamy:
1
2 6 5
+ 1 4 6
1 - dodajemy cyfry w następnym rządku - 1+6+4=11 i postępujemy jak poprzednio. Jedynkę z jedności zapisujemy pod dodawanymi cyframi, a liczbę dziesiątek zapisujemy nad następnym rządkiem.
1 1
2 6 5
+ 1 4 6
1 1 - dodajemy następny rządek 1+2+1= 4. Wynik zapisujemy pod dodawanym rządkiem. Gdyby wynik wyszedł nam ponownie dwucyfrowy zapisujemy obie cyfry.
1 1
2 6 5
+ 1 4 6
4 1 1 - jest to wynik naszego dodawania.
ODEJMOWANIE POD KRESKĄ
Weźmy teraz te same liczby, ale od większej odejmijmy mniejszą, tzn. 265-146=?
2 6 5
- 1 4 6 - odejmujemy od siebie jedności, tzn. 5-6=-1, a to jest mniejsze od 0. "Pożyczamy" więc jedną dziesiątkę z poprzednich liczb i teraz mamy 15-6=9. Zapisujemy pamiętając o naszej pożyczce
2 6 5
- 1 4 6
9 - pamiętając o wcześniejszym pożyczeniu odejmujemy następne cyfry: 6-1=5 - wynik po pożyczeniu dziesiątki. 5-4=1 - szukany wynik. -1 możemy zapisać sobie nad rzędem który będziemy odejmować, ale wystarczy że będziemy o nim pamiętać.
2 6 5
- 1 4 6
1 9 teraz odejmujemy ostatni rządek, czyli 2-1=1
2 6 5
- 1 4 6
1 1 9 - szukany wynik. Czyli 265-146=119.
MNOŻENIE POD KRESKĄ
Aby pomnożyć dwie liczby pod kreską, liczbę mniejszą (składającą się z mniejszej ilości cyfr) zapisujemy pod większą. Tzn. mnożąc liczbę 23 przez 154 zapiszemy to tak:
1 5 4
* 2 3 mnożymy przez siebie ostatnie cyfry (jedności) 4*3=12. Cyfrę 2 zapisujemy pod rządkiem z mnożonymi przez siebie cyframi, natomiast liczbę dziesiątek - 10 zapisujemy nad następnym rządkiem, aby pamiętać, że trzeba ją będzie dodać. Tzn.:
+1
1 5 4
* 2 3
2 - teraz mnożymy przez siebie cyfrę jedności (tej krótszej liczby) przez liczbę dziesiątek drugiej liczby, do wyniku dodając +1 z poprzedniego działania. Tzn. 3*5=15. Zapisujemy to jak poprzednio.
+1+1
1 5 4
* 2 3
6 2 - bo 5+1=6. Teraz mnożymy liczbę jedności z liczbą setek dodając liczbę setek z poprzedniego działania. Tzn. 3*1+1=3+1=4
1 5 4
* 2 3
4 6 2 teraz musimy się zabrać za mnożenie liczby 154 przez liczbę dziesiątek liczby 23. Mnożąc jednak przez liczbę dziesiątek musimy zostawić puste miejsce pod jednościami. Tzn.
1 5 4
* 2 3
4 6 2 2*4=8
8
+1
1 5 4
* 2 3
4 6 2 2*5=10
0 8
+1
1 5 4
* 2 3
4 6 2 2*1+1=2+1=3
3 0 8
Teraz dodajemy te dwie liczby do siebie. A to już potrafimy :)
1 5 4
* 2 3
4 6 2
+ 3 0 8
3 5 4 2 bo: 2+0=2; 6+8=14; 4+0+1=5; 0+3=3
DZIELENIE POD KRESKĄ
Weźmy dwie liczby: 312 i 13. Podzielmy pierwszą przez drugą, tzn. 312:13=?
312:12 tym razem będziemy działać od lewej do prawej, tzn. będziemy brać pierwszą liczbę i dzielić. Gdy pierwsza liczba jest mniejsza od tej przez którą dzielimy, tak jak w naszym przypadku, bierzemy dwie pierwsze liczby. Tzn. 31:12=2 + reszty 7. Tzn. 2*12+7=24+7=31. Liczbę 2 zapisujemy nad kreską, natomiast wynik reszty zapisujemy pod i spisujemy następną liczbę (w naszym przypadku będzie to 2)
2
312:12
-26
72 <- 72:12=6, czyli
26
312:12
-26
72
-72
0
Gdyby 72 nie było podzielne przez 12, tzn. zostałaby nam reszta tak jak we wcześniejszym dzieleniu, zapisalibyśmy tak samo, postawili przecinek za cyfrą wpisaną nad kreską i znów dzielili.
Więcej na temat działań pod kreską znajdziesz na wikipedii: http://pl.wikipedia.org/wiki/Dzia%C5%82ania_arytmetyczne
Zacznijmy od tego, czym jest liczba całkowita. Otóż, liczbami całkowitymi są liczby naturalne i liczby przeciwne do nich oraz zero. Trochę skomplikowane? Zastanówmy się zatem, czym są liczby naturalne?
Do zbioru liczb naturalnych zaliczamy liczby N={1, 2, 3, 4, ... } - tak zapisujemy zbiór liczb naturalnych. Te "..." oznaczają, iż jest ich nieskończenie wiele.
Wiemy już, czym są liczby naturalne. Czym są jednak liczby przeciwne do nich? Liczbą przeciwną do 5 jest -5, liczbą przeciwną do -3 jest 3. Są to więc te same liczby o przeciwnych znakach.
Teraz możemy wrócić do liczb całkowitych. Wiemy iż liczby naturalne to N={1, 2, 3, ...}, liczbami przeciwnymi do nich będą N_={..., -3, -2, -1}.
Oznaczając zbiór liczb całkowitych przez C możemy zapisać: C={ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Przejdźmy teraz do działań. Do działań arytmetycznych zaliczamy: dodawanie (+), odejmowanie (-), mnożenie (*) i dzielenie (:).
Dodawanie liczb jest najprostsze. Elementy które chcemy do siebie dodać, nazywamy składnikami, a wynik dodawania nazywany jest sumą. To znaczy:
5+3=8 - składnikami są 5 i 3, sumą jest liczba 8.
Odejmowanie oznaczamy znakiem "-", elementem odejmowania nazywamy odjemną i odjemnikiem, natomiast wynik nazywany jest różnicą. To znaczy:
5-3=2 - Odjemną jest 5, odjemnikiem jest liczba 3, natomiast różnicą jest liczba 2.
Przy mnożeniu (*) elementami, które mnożymy nazywamy czynnikami, a wynik - iloczyn. Tzn.:
5*3=15 - czynnikami są liczby 5 oraz 3. Iloczynem jest liczba 15.
Dzielenie oznaczamy ":", elementem który dzielimy jest dzielna, elementem którym dzielimy jest dzielnik. Natomiast wynik nazywa się ilorazem.
15:5=3 - Dzielną jest liczba 15, dzielnikiem - liczba 5. Ilorazem jest liczba 3.
Przykłady do rozwiązania. Oblicz sumę, różnicę, iloczyn i iloraz:
1) 15+20=
2) 45-15=
3) 10*4=
4)20:4=
Jak widać są to proste działania. Musimy jednak pamiętać o kolejności działań. Pierwsze są nawiasy. Jeżeli o nich zapomnimy, mogą one sporo popsuć:
5+3*2=5+6=11. Jednak gdy wstawimy nawiasy:
(5+3)*2=8*2=16 - wynik jest zupełnie inny.
Przy samym dodawaniu lub odejmowaniu (tzn. gdy nie ma innych działań), nawiasy nic nie zmienią:
5+7-3=(5+7)-3=5+(7-3)=9 - wynik jest taki sam czy są nawiasy, czy ich nie ma. Jednak gdy mamy do czynienia z działaniami o wyższej ważności, jakim jest mnożenie czy dzielenie, najpierw wykonujemy działania w nawiasach!
Zapamiętaj!
Najpierw wykonujemy działanie w nawiasach, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.
Przykłady
(7+3)-2 =
(7+3)*2 =
7+3*2=
10:5+2=
20:(2+3)=
20:5+2*3=
Warto znać metodę dodawania pod kreską:
DODAWANIE POD KRESKĄ
Weźmy dwie liczby: 265 i 146 które chcemy do siebie dodać. Zapisujemy je w następujący sposób:
2 6 5
+1 4 6 <- zapisujemy je jedna pod druga i odkreślamy poziomą linią.
_______ Teraz przechodzimy do dodawania - dodajemy ostatnie cyfry.
5+6 = 11, zapisujemy więc jedności pod liczbami które dodawaliśmy (pod 5 i 6), a jedynkę z dzisiątek (11=10+1) zapisujemy nad następnym rządkiem (nad liczbami 6 i 4)
Teraz więc mamy:
1
2 6 5
+ 1 4 6
1 - dodajemy cyfry w następnym rządku - 1+6+4=11 i postępujemy jak poprzednio. Jedynkę z jedności zapisujemy pod dodawanymi cyframi, a liczbę dziesiątek zapisujemy nad następnym rządkiem.
1 1
2 6 5
+ 1 4 6
1 1 - dodajemy następny rządek 1+2+1= 4. Wynik zapisujemy pod dodawanym rządkiem. Gdyby wynik wyszedł nam ponownie dwucyfrowy zapisujemy obie cyfry.
1 1
2 6 5
+ 1 4 6
4 1 1 - jest to wynik naszego dodawania.
ODEJMOWANIE POD KRESKĄ
Weźmy teraz te same liczby, ale od większej odejmijmy mniejszą, tzn. 265-146=?
2 6 5
- 1 4 6 - odejmujemy od siebie jedności, tzn. 5-6=-1, a to jest mniejsze od 0. "Pożyczamy" więc jedną dziesiątkę z poprzednich liczb i teraz mamy 15-6=9. Zapisujemy pamiętając o naszej pożyczce
2 6 5
- 1 4 6
9 - pamiętając o wcześniejszym pożyczeniu odejmujemy następne cyfry: 6-1=5 - wynik po pożyczeniu dziesiątki. 5-4=1 - szukany wynik. -1 możemy zapisać sobie nad rzędem który będziemy odejmować, ale wystarczy że będziemy o nim pamiętać.
2 6 5
- 1 4 6
1 9 teraz odejmujemy ostatni rządek, czyli 2-1=1
2 6 5
- 1 4 6
1 1 9 - szukany wynik. Czyli 265-146=119.
MNOŻENIE POD KRESKĄ
Aby pomnożyć dwie liczby pod kreską, liczbę mniejszą (składającą się z mniejszej ilości cyfr) zapisujemy pod większą. Tzn. mnożąc liczbę 23 przez 154 zapiszemy to tak:
1 5 4
* 2 3 mnożymy przez siebie ostatnie cyfry (jedności) 4*3=12. Cyfrę 2 zapisujemy pod rządkiem z mnożonymi przez siebie cyframi, natomiast liczbę dziesiątek - 10 zapisujemy nad następnym rządkiem, aby pamiętać, że trzeba ją będzie dodać. Tzn.:
+1
1 5 4
* 2 3
2 - teraz mnożymy przez siebie cyfrę jedności (tej krótszej liczby) przez liczbę dziesiątek drugiej liczby, do wyniku dodając +1 z poprzedniego działania. Tzn. 3*5=15. Zapisujemy to jak poprzednio.
+1+1
1 5 4
* 2 3
6 2 - bo 5+1=6. Teraz mnożymy liczbę jedności z liczbą setek dodając liczbę setek z poprzedniego działania. Tzn. 3*1+1=3+1=4
1 5 4
* 2 3
4 6 2 teraz musimy się zabrać za mnożenie liczby 154 przez liczbę dziesiątek liczby 23. Mnożąc jednak przez liczbę dziesiątek musimy zostawić puste miejsce pod jednościami. Tzn.
1 5 4
* 2 3
4 6 2 2*4=8
8
+1
1 5 4
* 2 3
4 6 2 2*5=10
0 8
+1
1 5 4
* 2 3
4 6 2 2*1+1=2+1=3
3 0 8
Teraz dodajemy te dwie liczby do siebie. A to już potrafimy :)
1 5 4
* 2 3
4 6 2
+ 3 0 8
3 5 4 2 bo: 2+0=2; 6+8=14; 4+0+1=5; 0+3=3
DZIELENIE POD KRESKĄ
Weźmy dwie liczby: 312 i 13. Podzielmy pierwszą przez drugą, tzn. 312:13=?
312:12 tym razem będziemy działać od lewej do prawej, tzn. będziemy brać pierwszą liczbę i dzielić. Gdy pierwsza liczba jest mniejsza od tej przez którą dzielimy, tak jak w naszym przypadku, bierzemy dwie pierwsze liczby. Tzn. 31:12=2 + reszty 7. Tzn. 2*12+7=24+7=31. Liczbę 2 zapisujemy nad kreską, natomiast wynik reszty zapisujemy pod i spisujemy następną liczbę (w naszym przypadku będzie to 2)
2
312:12
-26
72 <- 72:12=6, czyli
26
312:12
-26
72
-72
0
Gdyby 72 nie było podzielne przez 12, tzn. zostałaby nam reszta tak jak we wcześniejszym dzieleniu, zapisalibyśmy tak samo, postawili przecinek za cyfrą wpisaną nad kreską i znów dzielili.
Więcej na temat działań pod kreską znajdziesz na wikipedii: http://pl.wikipedia.org/wiki/Dzia%C5%82ania_arytmetyczne
Subskrybuj:
Posty (Atom)