A więc zaczynamy od czegoś najprostszego - działania na liczbach całkowitych.
Zacznijmy od tego, czym jest liczba całkowita. Otóż, liczbami całkowitymi są liczby naturalne i liczby przeciwne do nich oraz zero. Trochę skomplikowane? Zastanówmy się zatem, czym są liczby naturalne?
Do zbioru liczb naturalnych zaliczamy liczby N={1, 2, 3, 4, ... } - tak zapisujemy zbiór liczb naturalnych. Te "..." oznaczają, iż jest ich nieskończenie wiele.
Wiemy już, czym są liczby naturalne. Czym są jednak liczby przeciwne do nich? Liczbą przeciwną do 5 jest -5, liczbą przeciwną do -3 jest 3. Są to więc te same liczby o przeciwnych znakach.
Teraz możemy wrócić do liczb całkowitych. Wiemy iż liczby naturalne to N={1, 2, 3, ...}, liczbami przeciwnymi do nich będą N_={..., -3, -2, -1}.
Oznaczając zbiór liczb całkowitych przez C możemy zapisać: C={ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Przejdźmy teraz do działań. Do działań arytmetycznych zaliczamy: dodawanie (+), odejmowanie (-), mnożenie (*) i dzielenie (:).
Dodawanie liczb jest najprostsze. Elementy które chcemy do siebie dodać, nazywamy składnikami, a wynik dodawania nazywany jest sumą. To znaczy:
5+3=8 - składnikami są 5 i 3, sumą jest liczba 8.
Odejmowanie oznaczamy znakiem "-", elementem odejmowania nazywamy odjemną i odjemnikiem, natomiast wynik nazywany jest różnicą. To znaczy:
5-3=2 - Odjemną jest 5, odjemnikiem jest liczba 3, natomiast różnicą jest liczba 2.
Przy mnożeniu (*) elementami, które mnożymy nazywamy czynnikami, a wynik - iloczyn. Tzn.:
5*3=15 - czynnikami są liczby 5 oraz 3. Iloczynem jest liczba 15.
Dzielenie oznaczamy ":", elementem który dzielimy jest dzielna, elementem którym dzielimy jest dzielnik. Natomiast wynik nazywa się ilorazem.
15:5=3 - Dzielną jest liczba 15, dzielnikiem - liczba 5. Ilorazem jest liczba 3.
Przykłady do rozwiązania. Oblicz sumę, różnicę, iloczyn i iloraz:
1) 15+20=
2) 45-15=
3) 10*4=
4)20:4=
Jak widać są to proste działania. Musimy jednak pamiętać o kolejności działań. Pierwsze są nawiasy. Jeżeli o nich zapomnimy, mogą one sporo popsuć:
5+3*2=5+6=11. Jednak gdy wstawimy nawiasy:
(5+3)*2=8*2=16 - wynik jest zupełnie inny.
Przy samym dodawaniu lub odejmowaniu (tzn. gdy nie ma innych działań), nawiasy nic nie zmienią:
5+7-3=(5+7)-3=5+(7-3)=9 - wynik jest taki sam czy są nawiasy, czy ich nie ma. Jednak gdy mamy do czynienia z działaniami o wyższej ważności, jakim jest mnożenie czy dzielenie, najpierw wykonujemy działania w nawiasach!
Zapamiętaj!
Najpierw wykonujemy działanie w nawiasach, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.
Przykłady
(7+3)-2 =
(7+3)*2 =
7+3*2=
10:5+2=
20:(2+3)=
20:5+2*3=
Warto znać metodę dodawania pod kreską:
DODAWANIE POD KRESKĄ
Weźmy dwie liczby: 265 i 146 które chcemy do siebie dodać. Zapisujemy je w następujący sposób:
2 6 5
+1 4 6 <- zapisujemy je jedna pod druga i odkreślamy poziomą linią.
_______ Teraz przechodzimy do dodawania - dodajemy ostatnie cyfry.
5+6 = 11, zapisujemy więc jedności pod liczbami które dodawaliśmy (pod 5 i 6), a jedynkę z dzisiątek (11=10+1) zapisujemy nad następnym rządkiem (nad liczbami 6 i 4)
Teraz więc mamy:
1
2 6 5
+ 1 4 6
1 - dodajemy cyfry w następnym rządku - 1+6+4=11 i postępujemy jak poprzednio. Jedynkę z jedności zapisujemy pod dodawanymi cyframi, a liczbę dziesiątek zapisujemy nad następnym rządkiem.
1 1
2 6 5
+ 1 4 6
1 1 - dodajemy następny rządek 1+2+1= 4. Wynik zapisujemy pod dodawanym rządkiem. Gdyby wynik wyszedł nam ponownie dwucyfrowy zapisujemy obie cyfry.
1 1
2 6 5
+ 1 4 6
4 1 1 - jest to wynik naszego dodawania.
ODEJMOWANIE POD KRESKĄ
Weźmy teraz te same liczby, ale od większej odejmijmy mniejszą, tzn. 265-146=?
2 6 5
- 1 4 6 - odejmujemy od siebie jedności, tzn. 5-6=-1, a to jest mniejsze od 0. "Pożyczamy" więc jedną dziesiątkę z poprzednich liczb i teraz mamy 15-6=9. Zapisujemy pamiętając o naszej pożyczce
2 6 5
- 1 4 6
9 - pamiętając o wcześniejszym pożyczeniu odejmujemy następne cyfry: 6-1=5 - wynik po pożyczeniu dziesiątki. 5-4=1 - szukany wynik. -1 możemy zapisać sobie nad rzędem który będziemy odejmować, ale wystarczy że będziemy o nim pamiętać.
2 6 5
- 1 4 6
1 9 teraz odejmujemy ostatni rządek, czyli 2-1=1
2 6 5
- 1 4 6
1 1 9 - szukany wynik. Czyli 265-146=119.
MNOŻENIE POD KRESKĄ
Aby pomnożyć dwie liczby pod kreską, liczbę mniejszą (składającą się z mniejszej ilości cyfr) zapisujemy pod większą. Tzn. mnożąc liczbę 23 przez 154 zapiszemy to tak:
1 5 4
* 2 3 mnożymy przez siebie ostatnie cyfry (jedności) 4*3=12. Cyfrę 2 zapisujemy pod rządkiem z mnożonymi przez siebie cyframi, natomiast liczbę dziesiątek - 10 zapisujemy nad następnym rządkiem, aby pamiętać, że trzeba ją będzie dodać. Tzn.:
+1
1 5 4
* 2 3
2 - teraz mnożymy przez siebie cyfrę jedności (tej krótszej liczby) przez liczbę dziesiątek drugiej liczby, do wyniku dodając +1 z poprzedniego działania. Tzn. 3*5=15. Zapisujemy to jak poprzednio.
+1+1
1 5 4
* 2 3
6 2 - bo 5+1=6. Teraz mnożymy liczbę jedności z liczbą setek dodając liczbę setek z poprzedniego działania. Tzn. 3*1+1=3+1=4
1 5 4
* 2 3
4 6 2 teraz musimy się zabrać za mnożenie liczby 154 przez liczbę dziesiątek liczby 23. Mnożąc jednak przez liczbę dziesiątek musimy zostawić puste miejsce pod jednościami. Tzn.
1 5 4
* 2 3
4 6 2 2*4=8
8
+1
1 5 4
* 2 3
4 6 2 2*5=10
0 8
+1
1 5 4
* 2 3
4 6 2 2*1+1=2+1=3
3 0 8
Teraz dodajemy te dwie liczby do siebie. A to już potrafimy :)
1 5 4
* 2 3
4 6 2
+ 3 0 8
3 5 4 2 bo: 2+0=2; 6+8=14; 4+0+1=5; 0+3=3
DZIELENIE POD KRESKĄ
Weźmy dwie liczby: 312 i 13. Podzielmy pierwszą przez drugą, tzn. 312:13=?
312:12 tym razem będziemy działać od lewej do prawej, tzn. będziemy brać pierwszą liczbę i dzielić. Gdy pierwsza liczba jest mniejsza od tej przez którą dzielimy, tak jak w naszym przypadku, bierzemy dwie pierwsze liczby. Tzn. 31:12=2 + reszty 7. Tzn. 2*12+7=24+7=31. Liczbę 2 zapisujemy nad kreską, natomiast wynik reszty zapisujemy pod i spisujemy następną liczbę (w naszym przypadku będzie to 2)
2
312:12
-26
72 <- 72:12=6, czyli
26
312:12
-26
72
-72
0
Gdyby 72 nie było podzielne przez 12, tzn. zostałaby nam reszta tak jak we wcześniejszym dzieleniu, zapisalibyśmy tak samo, postawili przecinek za cyfrą wpisaną nad kreską i znów dzielili.
Więcej na temat działań pod kreską znajdziesz na wikipedii: http://pl.wikipedia.org/wiki/Dzia%C5%82ania_arytmetyczne
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz